domingo, 21 de abril de 2013

Fractales


Los fractales son objetos matemáticos que constituyen la “geometría de la teoría del caos”, aunque es importante destacar que no todos los fractales son caóticos. Los objetos fractales fueron creados mucho antes de haberse desarrollado formalmente la geometría fractal o la teoría del caos. De hecho, se pueden encontrar y reconocer figuras con características fractales como la del triángulo de Sierpinski en grabados de tela de hace varias décadas atrás, hasta en los años de 1400 se hallaron grabados japoneses con estas estructuras.



Antes de que Newton, Leibniz y sus colaboradores crearan en el siglo diecisiete lo que se conoce como Cálculo, Análisis Matemático o Cálculo Infinitesimal, se conocían funciones con enormes irregularidades y discontinuidades, pero los científicos de aquella época supusieron que esas mismas funciones discontinuas eran muy escasas y que raramente surgirían en sistemas naturales, por lo que las consideraban excepciones a la matemática tradicional y simplemente las dejaban de lado, o si no las ignoraban realizaban aproximaciones a través de redondeos, lo cual aún hoy en día se continua haciendo con éxito en diferentes sistemas, pero dichos redondeos se vuelven peligrosos en sistemas con una dinámica caótica. Un grupo de matemáticos comenzó a darse cuenta que en la naturaleza se daba muy seguido el fenómeno de irregularidades y que no eran excepciones como se suponía. Los primeros que comenzaron a demostrar teóricamente esta problemática fueron Cantor y Peano. Hasta llegar a los años de 1880 con Poincaré, al que se lo conoce como el padre de la teoría del caos.

No fue hasta el año 1958 cuando Benoit Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios de IBM para hacer un análisis del ruido y perturbaciones eléctricas. Mientras realizaba dichos estudios encontró un patrón en su comportamiento y por lo tanto comenzó a descifrar una estructura escondida. Algo así como una jerarquía de fluctuaciones en todas las escalas. Lo que sí es cierto es que esas fluctuaciones no podían ser descritas por la matemática estadística que existía. Mientras seguía adelante con sus tareas empezó a imaginar en que otros sistemas podrían encontrarse patrones similares que no puedan ser descritos con exactitud por la matemática existente y que se comportaran de igual manera. Su visión lo llevó a hacerse una pregunta que para la mayoría de las personas puede resultar obvia y hasta para muchos otros ser trivial. Su famosa pregunta fue: ¿Cuánto mide realmente la costa de Inglaterra?, cualquiera que tome un libro de geografía o un mapa podrá contestar esto sin ningún tipo de problema. Imagine que el dato que se encuentra es de dos mil kilómetros. Ahora bien, esos dos mil kilómetros., ¿De dónde provienen? ¿Cómo se midieron?

Para contestar esto se propone tres situaciones diferentes, con distintos puntos de vista: (1) Si se mide las costas de Inglaterra desde un satélite, se puede observar que sus bordes son suaves, armónicos, con líneas casi rectas y ángulos prácticamente redondeados. (2) Pruebe ahora medir la misma distancia, pero desde un avión que vuela mucho más bajo que el satélite. Ahora que se ven las cosas con más detalle por estar más próximos, es posible darse cuenta que los bordes no eran en realidad tan suaves como se había observado anteriormente, sino que se notan muchas más rugosidades. (3) Imagine por último un tercer punto de partida, que no es ni un satélite, ni un avión; esta vez se está parado sobre la misma costa de Inglaterra con una regla como la que se usaba en la escuela, y se pone a medir roca por roca, rugosidad por rugosidad, detalle por detalle. Se acaba de decir que una longitud sin rigurosidades es menos extensa que una totalmente irregular, entonces se puede asegurar que los resultados de las tres mediciones serán en todos los casos diferentes, y el de mayor extensión será el tercer caso, ya que es en el cual existen más detalles.

Un fractal es un objeto semi-geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en el año 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Mandelbrot se fundamentó en las ideas de los primeros matemáticos y descubrió similitudes en circunstancias y formas caóticas y aleatorias. Un fractal también es una técnica para describir y comprimir en gran parte imágenes, especialmente objetos naturales como árboles, nubes y ríos. Convierte una imagen en un conjunto de datos y un algoritmo para expandirla nuevamente a su tamaño original. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Como antecedente al estudio de los fractales se menciona que la geometría tradicional, la euclidiana, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de los elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes. La geometría euclidiana también describe los conjuntos formados por la reunión de los elementos más arriba citados, cuyas combinaciones forman figuras o formas específicas. Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descriptas por la geometría tradicional. La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza.

En la naturaleza existen abundantes ejemplos de formas pertenecientes a la geometría euclidiana: hexágonos, cubos, tetraedros, cuadrados, triángulos, etc., pero su vasta diversidad también produce objetos que eluden la descripción euclidiana. En dichos casos los fractales proporcionan un mejor medio de explicación. La geometría euclidiana es muy útil para la descripción de objetos tales como cristales o colmenas, pero no se encuentra en ella objetos que puedan describir las palomitas de maíz, los productos horneados, la corteza de un árbol, las nubes, los motivos de los objetos textiles, ciertas raíces o las líneas costeras, entre otras. Los fractales permiten modelar objetos tales como una hoja de helecho o un copo de nieve. Con la incorporación del azar en la programación es posible, por medio de la computadora, obtener fractales que describen los flujos de lava y los terrenos montañosos.

Según Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas. Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud: (1) Autosimilitud exacta. Este es el tipo más restrictivo de autosimilitud, exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo se encuentra en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas. (2) Cuasiautosimilitud. Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D. Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo. (3) Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Entre los fractales se pueden encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio. De modo general, podría realizarse la pregunta acerca de cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que informan objetivamente de este tipo de cuestiones son: (1) La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver, en términos de la teoría del conteo, con el recuento de las esferas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Se puede medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa, nubes, árboles, etc., Con estas medidas se pueden comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos. (2) La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características: (1) Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. (2) Posee detalle a cualquier escala de observación. (3) Es autosimilar. (4) Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. (5) Se define mediante un simple algoritmo recursivo. No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

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